【干货】统计过程控制SPC控制限计算中容易犯错误的地方与注意事项

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各位小伙伴，在前面的文章《使用Cp/Cpk的常见困惑、误区与注意事项（二）》中，我们提到了统计过程控制中的两种不同的抽样方式，讨论了这两种抽样方式的Cp/Cpk与Pp/Ppk差别以及容易出错的地方与主要事项，并简要地提到大家在计算第二种抽样方式的控制限时很容易犯错。由于篇幅的限制，没有机会深入讨论。

今天，我们就抛砖引玉地与大家来讨论下控制限计算中容易犯错误的地方与注意事项。

不知道大家有没有注意到，国际ISO推荐的TS16949五大工具书中由美国AIAG出版的SPC Reference Manual (第二版)中，中国标准出版社出版的统计方法应用标准化丛书中于振凡等编著的《生产过程质量控制》的第二版中，以及国内质量管理体系中统计技术应用指导与培训教材中都没有提醒读者区分以上两种抽样方式下计算控制限的不同。

考虑到大部分朋友会参考这几本国际国内权威性的参考书，而且我们看到国内许多SPC书籍和相应培训教材在这方面常常有错，不少在工作中需要使用第二种抽样方式的SPC实践者也常常跟着犯错，因此有必要在此一起来详尽地讨论下，帮助大家正本清源。

好，我们先来讨论最流行的第一种抽样方式。



图一：单部件生产过程的测量抽样方案。

假定一共有n个子组， 每个子组样本大小为k。 令Xij 为第i组第j个抽样的产品测量值。

这里的蓝颜色圆圈是按计划抽样到的、有测量结果的单元，黄色的圆圈是未被抽样测量的单元。时间顺序是从最左往右。

其控制图和对应的控制限计算常用的有两种：

以下是教课书里能找到的控制限公式：


在运用这些公式来计算上下控制限很容易，照套公式便可。然而，如果不知道它的假设前提就容易犯张冠李戴的错误。如果知道它的假设就能安全地用对公式, 即使不懂其中一些深奥的理论细节。许多朋友在教科书里读到应该是假定过程是处于统计控制状态中。那么，这一假定是怎样体现在以上控制限的推导中呢？这是许多朋友不是特别了解或大部分教课书没有特别描述到的地方。

接下来，我们就这一部分与大家重点讨论下。

假定该稳定过程为正态分布，其总体均值为μ，过程总体标准差为σ。 那么读过基本统计学的朋友都知道：


那么，公式（2）是怎样推导到公式（1）的呢？关键是这里的σ是怎样计算的呢？

这里过程总体标准差σ的计算方法有好几种，中心思想是将各子组的波动合并起来。 其中一种非常流行的叫合并方差法（英文为pooled variance 或combined variance）。它是一种工程技术人员非常需要掌握的一个重要方法，在实际工作当中常常用得到，所以下面我们需要多花些笔墨来介绍这一方法。


图-2：5个子组均值不同，标准差相同的数据。 目标是准确计算波动的标准差。

图-2显示5个子组数据的分布，每个子组样本大小相同，均为10个。 假定这5个子组的数据的总体均值不同，但是它们的总体标准差相同（即来自于总体标准差相同的5个总体）。

这是实际工作中经常遇见的情形，比如有些制程的硬件材料更换后制程的均值会有所改变，但是制程的波动不受影响。假如我们需要准确地估计该波动的总体标准差，你会怎样计算？把这5x10=50个数据丢进常用的标准差的公式去计算？你可能会犹豫这么做，因为算出来的结果会非常大（SOverall=3.73），这是由于它们不是来自于同一分布，尽管它们各自总体的总体标准差是相同的。总体均值和总体标准差同时相等的才是同一分布。

现在我们换一种算法，对5个子组分别计算5个样本标准差Si， i=1,2,3,4,5。 然而它们都不相同(S1=0.219, S2=0.123, S3=0.240, S4=0.190, S5=0.154)，因为样本大小只是10，不是无穷大，得到的样本标准差一定会有统计涨落，尽管它们对应总体的总体标准差是一样的。

你是不是会只任意挑选其中的一个或者介于中间的一个样本标准差来代表这个总体标准差？不管你挑选哪一个，它的数值的不确定度都比较大，因为被样本大小10所限制。

假如你从同一分布中随机抽取了50个数据，这时，计算出来的样本标准差的不确定度就要小许多。

下面介绍的合并方差方法就等价于用大样本数据计算出来的样本标准差，它的精确度就要比样本大小为10算出来的标准差要高得多。

合并方差的计算方法是：



如果每个子组的样本大小不一，记为ni, 那么合并方差为：



开方后的便是过程波动的总体标准差σ的高精度的估计。这个例子算出的合并标准差为0.190。 SPC书籍中对过程波动的总体标准差σ的估计有多种合并方法。

比如前面的均值上下控制限计算公式（1）中用的合并公式是：



这里的合并方法来源的理论细节我们就不花时间细述了（大部分书籍也不细述而是直接引用）。由此你很容易就推导出公式（1）中的A3为：


大家可以当作一个练习去完成。

关于样本标准差Si控制图的上下控制限，它们也是基于三倍标准差的原理，不过，此时的标准差是标准差Si的标准差为Ss  （对应的总体标准差即为σs）（即用n个子组样本标准差代进公式算出来的标准差）。 它与标准差σ的关系为:



作为练习，大家应该很容易推导出下面的关于样本标准差Si控制图的上下控制限为：


关于均值/极差控制图的上下控制限公式这里因篇幅有限就不展开了，所有的教课书里都有提供。

现在我们可以深入讨论以上推导过程的前提假设了。

前提假设是什么？  

前提假设是整个过程处于稳定的受控状态，统计上说就是子组内波动的总体标准差与整个过程波动的总体标准差是一致的（短期和长期的波动是一致的，只有一个波动源，大小为σ）。


如果这些假定违背了，前面计算上下控制限的公式就不适用了。

我们现在来看看在半导体制造中常用抽样方式的控制限的计算。



图-3：半导体晶圆生产过程的测量抽样方案。

图-3是基于含有多个芯片的晶圆。这些芯片抽选一部分出来测量。

其中：

• 蓝色圆圈是按计划抽样到的一个晶圆中的测量结果。即晶圆中的五个芯片有被测量；
• 黄色圆圈是未被抽样测量的晶圆芯片示意。
  

这里的五个芯片竖起来画是因为统计过程控制是个时间序列的统计问题，这五个芯片是同一时间由一个生产设备加工生产出来的。
这时子组的组内波动的标准差是生产设备在某一时刻表现在某一片晶圆上的均匀度。它和过程随时间波动总体标准差σ是完全不同的概念，而且它们是完全独立的两个波动源。

比如半导体等离子体蚀刻设备的RF功率和蚀刻气体分布的均匀性是硬件的特性，它影响晶圆平面上的均匀度（σwithin）。



在用这样的三倍子组均值的标准差为计算上下控制限时，结果是或者太宽或者太窄，取决于σwithin相对于过程波动标准差σ的大小。这样计算出的上下控制限太宽时抓不住许多真实的OOC，太窄时又常常产生过多假警报。

关于这两种抽样方式的差别，许多教课书都没有特别提醒，以至许多使用者常常用错，包括国际知名的一家芯片制造公司在他们早期的SPC 培训材料中也犯这种错误，我们了解到国内有些半导体或者平板显示制造企业也犯这种错误。

在著名的蒙哥马利写的第七版《Introduction to Statistical Quality Control》书中，他在讲述完各种控制图方法之后的题目为“Applications of Variable Control Charts”的6.6节讨论几个实际应用案例中，在该书中是第一次提到这里的第二种抽样方式的例子。

在这个实例中，一次铸造出来的铸件测量了5个叶片的高度，属于这里的第二种抽样方式。铸造工程师们在应用常规的（即这里的第一种抽样方式）方法计算控制限时发现太多的假警报，蒙哥马利此时改用他在6.6节才开始提到的Three Way Control Charts，对工程师错误的做法并没有能够从两个不同波动源去解释、提醒使用者这种抽样方式与第一种抽样方式有不同的假定。第一种抽样方式只有一个波动源，而第二种抽样方式有两个互相独立的波动源。   

那么什么是Three Way Control Charts呢?  

Three Way Control Charts是教课书介绍的单值-移动极差控制图(X-MR)再加上子组内均匀度的标准差或极差控制图这样的三个控制图。它对应的时间序列上的抽样方式可以用图-4描述。



图-4 单值为第二种抽样方式子组均值的时间序列图

图-4 单值为第二种抽样方式子组均值的时间序列图。蓝色的圆是子组（即晶圆）均值，黄色的圆是未抽样测量的子组（晶圆）。 它是第一种、第二种抽样方式的一种子组只有一个值的一种特殊情形。

移动极差的定义为：MRi=| Xi-Xi-1| ，这里的Xi为第i子组的均值。

大家可以练习相应的推导过程。

第二张控制图是描述过程波动幅度的移动极差MRi的控制图。

由此可得移动极差的控制上下限为：


因为这里的控制限必须是正的数值。

第三张控制图就是描述晶圆均匀度的子组组内标准差的控制图，方法和前面介绍的样本标准差Si控制图的上下控制限一样，这里就不再赘述了。

JMP 软件质量与过程平台中的控制图生成器提供这样的Three Way Control Charts，使用上非常方便，只要点击一个按钮“3-Way Chart”就完成了。

下面的例子是对生产过程中的填充重量建立控制图。

其中一个样本（即：同一时间生产出来的一个批次）有六个填充重量的测量。一共有60个样本。如果用第一种抽样方式的控制限计算方法，得到是图-5中的两个控制图。


图-5 为用第一种抽样方式的控制限计算方法得到的两个控制图。

上面的是填充重量的均值图，下面的是样本内标准差图。

图-5显示两个控制图都有非常多的OOC，尤其是均值图。

如果我们使用正确的JMP 软件中的3-Way Chart去制作控制图就可以真实地反映该过程稳定的状态（见图-6）。

图-6： 从上往下，第一张控制图是填充重量的基于均值的单值图，第二张是基于均值的移动极差图，第三张是反映批次内变异的标准差控制图。

现实中，大部分芯片制造公司只采用其中的两个控制图，省去了移动极差MRi的控制图，而且子组均值的控制图并不使用移动极差方式来计算子组均值波动的标准差，而是直接使用所有子组均值算出的标准差。

• 省去一张控制图主要考虑的是避免太多的控制图，因为一个制程有三个控制图，n多个制程就会有3n个控制图！
• 其次，移动极差MRi的控制图的灵敏度不高（求极差的数据集只有两个数据点）。如果你的制程数目不庞大，宁愿使用three way control charts也未尝不可。
• 另外，控制图个数的提高未必是控制质量的提高，因为不同情况下还有不同种类型可能更合适你的控制图选择可以考虑， 这里我们就不再深入讨论了。
  

希望更多了解这一点的朋友可以阅读前面我们推崇的好书，蒙哥马利(Montgomery)著作的第七版《Introduction to Statistical Quality Control》一书末页中的Guide to Univariate Process Monitoring and Control. 希望可以帮助你学到更多，在计算控制限的时候更加得心应手。

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phinikes

谢谢楼主分享，学习中