【干货分享】Cp/Cpk的常见困惑、误区与注意事项（二）

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在上周的文章《使用Cp/Cpk的常见困惑、误区与注意事项（一）》中，我们与大家一起讨论了过程能力指数的定义、前提假设及最初设计过程能力指数的用意、不合格率DPM (Defects Per Million)与Cp/Cpk的关系，提醒了大家使用过程能力指数是要求过程处于稳定状态，它们评估的是Capability（能力）而不是Stability（稳定性）。标准公式的Cp/Cpk的计算是基于正态分布的前提，而且需要侦测并剔除离群值。

此外，我们在这里还要多提醒大家，外面流行的非对称的规格上下限有不同版本的Cp/Cpk公式，来源于各类SPC的教材，也出现在一些SPC书籍当中。这些Cp/Cpk公式的延伸都脱离了最初设计过程能力指数的定义和用意，包括非正态分布情形下的Cp/Cpk公式在使用时也不要过分解读它的应用价值。

曾经有不少人对Cp/Cpk的广泛使用提出了许多批评，有兴趣的朋友，可以阅读宋祥彦的《六西格玛管理质疑》一书。不过虽然该书作者提出了让人难以反驳的质疑，但是他并没有提出可以替代Cp/Cpk的行之有效的新指标。

我们的一管之见是，大家还是需要使用Cp/Cpk，不能因为它有局限性和瑕疵就废弃不用，只是大家需要注意到它的前提、假设与局限性，不要流于滥用。

此外，即便是满足定义的前提，在比较Cp/Cpk值时也不能过分解读细小的差异，因为大部分人只会计算Cp/Cpk的点估计, 但是不会计算也常常忽略它们的置信区间的应用。如果大家使用过JMP软件的话，就知道在得到点估计同时可以得到Cp/Cpk的置信区间。

好，继续我们今天的话题，也就是关于Cpk和Ppk的差别。上篇文章因篇幅有限，所以我们特意留到这篇文章来专门讨论。

读过SPC（统计过程控制）教科书的朋友们都知道Ppk的Sigma用的是总Sigma或者叫长期Sigma (σLT) (LT=Long Term)，而Cpk对应的是短期Sigma（σST）(ST=Short Term). 这里的Cpk和Ppk是假定生产设备在一个时间生产出只有一个单元（单独元件或部件）的制造过程（比如汽车制造业中一台机床加工机械部件螺丝或垫圈生产的过程）。 忘掉这抽样方案的特性就会常常落入误区，错误使用Cpk和Ppk，甚至错误计算控制限。

首先，让我们回顾一下SPC教科书上呈现的产品测量抽样方案。在你继续往下阅读本文前请先短暂停顿一下，回忆一下或者到教科书上查阅一下书中描述的SPC抽样方案，然后往下阅读本文，这样你的印象会更加深刻（回忆一下你知道的抽样方案有几种？它们的差别在哪里？然后继续阅读本文）。你会发现，绝大部分教科书都没有花什么篇幅来详细描述抽样方案，也没有用示意图来描述抽样方案。

在这里，我们把绝大部分SPC教科书所基于的抽样方案作为第一种方案用示意图描述（见图一）。

图一：单部件生产过程的测量抽样方案。

这里的蓝色圆圈是按计划抽样到的、有测量结果的单元；黄色圆圈是未被抽样测量的单元。时间顺序是从最左往右。 在生产设备处于稳定状态没有额外波动源时，每个子组被假定来自与同一个统计分布总体。多个子组的标准差在合并起来之后可用于Cp/Cpk的计算。

假设Xij为第i子组的第j个单元测量值。每个子组有n个单元，一共有k个子组，则合并标准差sST为：



这里的下标ST是Short  Term的缩写。这时计算出来的Cp/Cpk是假定了合并后的子组标准差与长期(Long Term) 标准差一致。实际情况是有时它们并不一致，这时需要使用长期标准差来计算过程能力。

为了区分短期标准差算出的Cp/Cpk，人们给它命名为Pp/Ppk。 它使用的长期标准差的计算方式是：



好，我们现在开始讨论第二种抽样方案。这种方案在半导体制造中非常广泛。图二是基于含有多个芯片的晶圆，这些芯片抽选一部分出来测量。
图二：半导体晶圆生产过程的测量抽样方案。

图二中的蓝色圆圈是按计划抽样到的一个晶圆中的测量结果。即：晶圆中的五个芯片有被测量，黄色的圆圈是未被抽样测量的晶圆和芯片示意。这里的五个芯片竖起来画是因为统计过程控制是个时间序列的统计问题，这五个芯片是同一时间由一个生产设备加工生产出来的。

我们曾经看到有的半导体制造大公司在建厂早期时，曾把五个芯片的质量特征数据横过来放进控制图里，在被业内人士指正并解释之后才得以纠正。这时的五个芯片数据由于均匀度造成的变化变成了系统随时间变化的数据，造成了系统不稳定和波动的假象。

这里的多个芯片不能与图一中的子组相提并论。图一中的子组是在不同时间生产出来的，而图二中的一个晶圆中的多个芯片是同一时间生产出来的。半导体制造的绝大部分过程都是单晶圆加工过程，即每次加工的是一整片晶圆。

• 图一的子组反映了生产设备随时间的短期稳定性；
• 而图二晶圆的多个芯片的差异反映的不是生产设备随时间的稳定性，而是反映了设备能达到的晶圆内芯片质量指标的均匀性。
  

比如，半导体等离子体蚀刻设备的RF功率分布的均匀性是硬件的特性，它影响晶圆平面上的均匀度。而设备的平均蚀刻率的不稳定性可以是RF总功率（而不是功率在空间/平面上的分布）的不稳定或者总的气体流量（而不是气体在空间/平面的分布）的不稳定等因素造成的。

关于半导体制造过程中的Cp/Cpk的计算，有位业内资深专家曾向我们透露过，他之前所服务过的一家公司质量部门经理曾找过他救援，因为这位经理无法回答来自ISO体系对他们质量的稽核当中问到的一个问题，即：要求他们公司不仅要提供Cp/Cpk，还要提供Pp/Ppk，而他们却不知道Cp/Cpk和Pp/Ppk有什么区别。

对此，这位专家的解答是，半导体制造业的Cp/Cpk就是实际的Pp/Ppk. 因为用晶圆的五个芯片作为子组来计算Cp/Cpk是没有意义的。同时，据他介绍，在半导体制造业中，包括Intel在内的全球许多公司的Cp/Cpk也是实际上的Pp/Ppk.

讲到这里，大家可能开始关心在这第二种测量抽样方案中的控制限的计算与第一种测量抽样方案有什么不同了。这也是一个容易犯错误的地方，甚至一家国际知名的芯片制造公司在早期的SPC工作中也曾犯过这类错误，这些都反映在他们早期的SPC培训材料中。关于这一点，我们将在之后的文章(《统计过程控制的控制限计算中容易犯错误的地方与注意事项》)再和大家一起分享与讨论。

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