JMP 氢原子里有π的著名计算公式（转）

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2015-12-03 请点蓝字関注我☞ [url=]科技新产品[/url]

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图:如图所示，氢原子的轨道就像盘绕的云，计算这些轨道的能量，就能推导出π的计算公式

360年前英国数学家John Wallis得到了一个伟大的计算无穷位的π公式。很奇特的是，今天，两位物理学家，在氢原子量子力学的日常计算中发现了同样的公式。

π被定义为圆的周长与直径的比值，但是这个比值却却是一个永远不会重复的奇怪小数，例如用十进制表示为3.14159265358979…, 1655年Wallis得到了一个可以无限接近π真实值的公式，π/2=(2/1*2/3)*(4/3*4/5)*(6/5*6/7)*(8/7*8/9)*…

推导这个公式Wallis用了很多页的公式。他从圆的外接正方形开始（面积比值为π/4）进行有限的计算，例如1+23+33+43+…等等，最后他找到了无限的方法从而得到了前面那个计算任意位π的公式。这个公式对后来的概率，离散数学，三角学等有很大的影响。

现在，物理学家Friedmann和Carl Hagen利用氢原子的量子轨道计算为这个公式找到了一个更加简便的方法。

氢原子是最简单的原子，由一个正电荷的质子和一个负电荷的电子构成。电子的轨道并非像月球轨道的圆形，而是以几率波的形式出现，也就是说，每个地方出现的几率不同（叫电子云，如图所示）。电子的轨道有很多个，他们有不同的能量。

为了计算每个轨道的能量上限，他们用到了变分法，为的是得到越来越精确的轨道能量，并逐步逼近它的上限。这个方法在低能级轨道效果特别好。

这种逼近值与准确值之间的关系可以用一个伽玛函数来表示（gamma functions），当电子的不断角动量增加时这些函数之间的比值就越来越趋近于1，所以这其实表示了逼近的效果。有趣的是其中一个伽玛函数会得出π的值，整理后就直接得到了Wallis著名的计算π的公式。

   这个量子力学计算中得出的公式虽然对于量子力学的研究可能影响并不大，但对于伽玛函数的性质的研究倒是有很大的启发作用，说不定据此得出一些有趣的公式。研究结果发表在数学物理杂志上（Journal of Mathematical Physics）。

翻译整理：彭兴跃2015年11月17日星期二

原文发表：13 November 2015,(Science|DOI: 10.1126/science.aad7436)