离散概率分布——伯努利分布（转）

漠河

概率论若只是简单的通过一些排列组合就能计算的话，那也不足以称之为“论”了，既然是论，必成一套体系。之前的几篇其实都主要是古典概率中的内容，除此之外还有很大一块都是涉及到概率分布的（有离散和连续的分类）。这当中，也许伯努利分布算是最为基础的吧~~
楼主首先来开八一下牛掰的伯努利家族。为什么说牛掰，你看了就知道！
       17—18世纪，在欧洲数学界出现了一个大的数学家族—伯努利家族（Bernoulli）这个家族的三代人中有8位数学家，他们几乎对当时数学的各个分支都作出了许多重大贡献，其中以第一代的雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟及第二代的丹尼尔·伯努利最为著名。
       雅各布·伯努利 1654年12月27日出生在瑞士的巴塞尔，1705年8月16日卒于巴塞尔。在数学、力学、天文学等领域内都有贡献。以雅各布·伯努利的名字命名的数学成果主要有：概率统计中的伯努利分布和伯努利定理；高等数学中的伯努利方程和伯努利双纽线，在等时线问题的伯努利解中，第一次出现现代通用的“integral”（积分）这个字；数论中的伯努利数和伯努利多项式。他还发现：等角（对数）螺线在多种变换下仍然变成对数螺线，于是他模仿阿基米德，要求把这样的螺线连同碑文“纵使变化，依然故我！”刻在自己的墓碑上，以作永久纪念。
        约翰·伯努利是雅各布的二弟，1667年8月6日生于瑞士的巴塞尔，1748年1月1日卒于巴塞尔。在数学、力学领域作出了重大贡献，比他的哥哥更为多产。约翰在巴塞尔大学学习期间，怀着对数学的兴趣和热情，跟哥哥雅各布秘密学习数学，并开始研究数学，兄弟俩均熟悉并发展了莱布尼茨(G.W.Leibniz)的微积分，成为微积分的主要奠基者。1691年他到达巴黎，在那里他会见了洛比达(L’Hospital)，为洛比达讲授微积分，并开始写作微积分的有关著作。1696年在世界上第一本微积分课本中给出的求“0/0型”未定式极限的被人们称为的“洛比达法则”实际上是约翰的成果。

       丹尼尔·伯努利是约翰的第二个儿子，是这个家族中最杰出的一位。他1700年2月8日出生在荷兰的格罗宁根，1782年3月17日卒于瑞士的巴塞尔。曾与欧拉(L.Euler)一起工作。他的学术著作非常丰富，全部数学和力学著作、论文超过80多种，为此，他先后获得巴黎科学院的10次以上的奖赏，受到欧洲学者们的爱戴，获得了相当高的荣誉。
八卦完毕，大家应该知道，概率论里著名的伯努利实验和伯努利分布讲的就是雅各布了。
       在众多分布中，楼主首先开说伯努利分布，其实是因为在此之前，很多的概率论结论都是建立在伯努利实验中的，可以说这是基础中的基础。那什么是伯努利实验？
       伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。一般地，在相同条件下重复做n次的试验称为n次独立重复试验。
1. “在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他实验结果的影响。
2.如何判断：判断是否为伯努利试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响。（举个例子来说，扔硬币其实就是伯努利实验……）
什么是伯努利分布？
       伯努利分布（the Bernoulli distribution，又名两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名。)若伯努利试验成功，则伯努利随机变量取值为1。若伯努利试验失败，则伯努利随机变量取值为0。记其成功概率为p，失败概率为q=1-p。则期望EX=p,方差varX=pq=p（1-p）。若X服从概率为p的伯努利分布，则记为X~Bern(p)。
       在前面曾提到伯努利分布也成为两点分布，楼主记得有个分布叫做二项分布，大家有没有听过？他和二项分布有啥关系呢？
       伯努利分布是二项分布在n=1时的特殊情况。X~B(1, p)与X~Bern(p)的意思是相同的。相反，任何二项分布B(n,p)都是n次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为p。
       举个简单的例子来说：掷一枚骰子十次，那么掷得4的次数就服从n = 10、p = 1/6的二项分布。
楼主一开始就说伯努利实验在古典概型中很常见，那怎么区分呢？
举个例子来说吧：
首先明确两者定义：
古典概型：它是概率论中最直观和最简单的模型，古典概型具有两个特征：
①  试验的样本空间只包括有限个元素。
②  试验中每个基本事件发生的可能性相同。

伯努利概型：它是一种基于独立重复试验，满足二项分布的概率模型，它的基本特征：
①  在一组固定不变的条件下重复地做一种试验。
②  每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生。
③  每次试验中，相同事件发生的概率均一样。
④  各次重复试验的结果是相互独立的。
先给出如下问题：
① 掷一枚质地均匀的骰子，问掷出红色的点数的概率是多少？
② 将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，问两次均掷出红色的点数的概率是多少？

假设1，4点是红色，2，3，5，6点是黑色的，对于第一问，一枚骰子只能掷出6种情况，满足古典概型①条件，由于质地均匀，掷出每种情况的可能性相同，满足古典概型②条件，所以它是古典概型；对于第二问，将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，满足伯努利概型①条件，每次试验结果，要么出现红色，要么不出现红色，满足伯努利概型②条件，每次试验中，出现红色的概率都是一样的，满足伯努利概型③条件，由于每次试验的结果，前后互不干扰，满足伯努利概型④条件，所以它是伯努利概型。